声明：本文是初等有限元教程 矩阵部分的学习笔记。

基础定义

  • 向量：只有一列或一行的矩阵， 通常用加粗小写字母表示
    a = $\begin{bmatrix}a\\d\end{bmatrix}$

  • 方阵：行数=列数

  • 转置：行列互换
    B=$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}$ BT=$\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}$

  • 对称矩阵：B=BT 的方阵(Mij=Mji)
    B=$\begin{bmatrix}a&b&c\\b&e&f\\c&f&f\end{bmatrix}$

  • 对角矩阵：仅对角线非零

  • 单位矩阵I：对角线均为1的对角矩阵

  • 零矩阵：所有的元素为0

矩阵加减法

  • 运算：相同维度矩阵下，对应位置元素相加减
  • 符合规律
    • $\mathbf A \pm \mathbf B = \pm \mathbf B + \mathbf A $
    • $\mathbf A^T \pm \mathbf B^T = \pm \mathbf B^T + \mathbf A^T $

矩阵乘法

  • 运算：
    • 与常数c相乘：每个元素都乘以c
    • 点积：$\mathbf a^T \mathbf b=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} = a1b1+a2b2+a3b3 = \sum_1^n a_ib_i =\mathbf b^T\mathbf a$
    • 向量a的长度:$|a|=\sqrt[2]{a^2+b^2+c^2}$= $\sqrt[2]{\mathbf a^T*\mathbf a}$
    • 矩阵相乘：相邻矩阵维度相同

      维度mxn * 维度nxp 得到维度mxp

      • $\mathbf c=\mathbf A \mathbf x =\begin{bmatrix}A_{11} &A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11}x_1+A_{12}x_2\\A_{21}x_1+A_{22}x_2\\A_{31}x_1+A_{32}x_2&\end{bmatrix}$

      • $\mathbf C=\mathbf A \mathbf B =\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\\A_{31}B_{11}+A_{32}B_{21}&A_{31}B_{32}+A_{12}B_{22}\end{bmatrix}$

      • 乘法规律

        • $\mathbf A\mathbf I =\mathbf A$
        • $(\mathbf {AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$
        • $(\mathbf {ABC})^T=((\mathbf {AB})\mathbf C)^T=\mathbf C^T(\mathbf {AB})^T=\mathbf C^T \mathbf B^T \mathbf A^T$
        • $(\mathbf {Ax})^T=\mathbf x^T\mathbf A^T$
        • $c \mathbf {AB}=\mathbf A(c\mathbf B)$

      • 分配律

        • $(\mathbf A + \mathbf B)\mathbf x = \mathbf {Ax}+\mathbf {Bx}$
        • $\mathbf x^T(\mathbf A+\mathbf B)=\mathbf x^T \mathbf A+\mathbf x^T \mathbf B$
        • $(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf C=\mathbf {AC}+\mathbf {BC}$
        • $\mathbf C(\mathbf A+\mathbf B)=\mathbf {CA}+\mathbf {CB}$

行列式

假设$\mathbf A=\begin{bmatrix}A11&A12\\A21&A22\end{bmatrix}$

  • 对于维度为nxn方阵A可以计算A的行列式，记作det A
  • A的次（Minor）矩阵（$detM_{ik}$）
    • 将元素所在的i行和k列删除得到一个(n-1)x(n-1)维度的方阵
    • e.g:$detM_{11}=A_{22}$ $detM_{21}=A_{12}$
  • A的余子（Cofactor）矩阵($A_{ik}^c$)
    • $A_{ik}^c=(-1)^{i+k}detM_{ik}$
  • A的行列式：
    • $detA=\sum_1^nA_{ik}A_{ik}^c$
    • e.g.: i=1时
      $detA = \sum_1^nA_{1k}A_{1k}^c
      =A_{11}(-1)^{1+1}detM_{11}+A_{12}(-1)^{1+2}detM_{12}
      =A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}$

      可以用对角线快速计算（主对角线-次对角线）

  • 性质：
    • $det\mathbf A^T=det\mathbf A$
    • $det\mathbf{AB}=det\mathbf A det\mathbf B$
    • $det(\mathbf A+\mathbf B)\neq det\mathbf A+det\mathbf B$
    • 存在整行(列)的行列式均为0的方阵的行列式为0
    • 存在两行(列)成比例的方阵行列式为0
    • 整行(列)乘以c则行列式也乘以c
    • 行(列)运算不影响行列式的值（整行放大加减另一行）
    • 整行(列)交换，行列式互换符号

逆矩阵

  • 定义$A^{-1}A=AA^{-1}=I$
  • 伴随矩阵是余子式的逆矩阵 记作$adj\mathbf A$, $\mathbf A^{-1} = adj\mathbf A/det\mathbf A (det\mathbf A\neq 0)$
  • 当$det\mathbf A = 0$ 时为奇异(singular)矩阵
  • 当$\mathbf A^{T} = $\mathbf A^{-1} $时， 称为正交(Othogonal)矩阵

线性方程式

  • 线性方程形如：$\mathbf Ax= \mathbf b$
    • 当$\mathbf b = 0$时称为齐次(homogenoes)方程式
      • 当$det\mathbf A=0$时，存在非平凡(non-trivial)解
      • 当$det\mathbf A \neq 0$时，只存在存在平凡(trivial)解$x$
    • 当$\mathbf b \neq 0$时称为非齐次(homogenoes)方程式，有限元通常关心这种
      • 当$det\mathbf A \neq 0$ 时，有唯一解 $x = \mathbf A^{-1}b$
      • 当$det\mathbf A=0$时，没有唯一解，可能无解，也可能无数解
      • 高斯消元法， 先将矩阵三角化成上三角矩阵，则最后一个元素可解，不断向上迭代可以求得整个解

线性方程式切割

  • 每个方程式切割(partition)需要注意同时切割同一行
    • eg：$\mathbf Ax=f$ 展开为 $\begin{bmatrix}
      a11 & a12 & a13 \\
      a21 & a22 & a23 \\
      a31 & a32 & a33
      \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
      x1 \\ x2 \\ x3
      \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}
      f1 \\ f2 \\ f3
      \end{bmatrix}$
      可以将其拆解为$\begin{bmatrix}
      \mathbf B & \mathbf C \\
      \mathbf D & \mathbf E
      \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}
      y \\ z
      \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}
      g \\ h
      \end{bmatrix}$
      此时左端项为 $\mathbf B = \begin{bmatrix}
      a11 & a12 \\
      a21 & a22 \\
      \end{bmatrix}$ $\mathbf C = \begin{bmatrix}
      a13 \\ a23
      \end{bmatrix}$ $\mathbf D = \begin{bmatrix}
      a31 & a32
      \end{bmatrix}$ $\mathbf E = \begin{bmatrix}
      a33
      \end{bmatrix}$
      未知项$\mathbf y = \begin{bmatrix}
      x1 \\ x2
      \end{bmatrix}$ $\mathbf z = \begin{bmatrix}
      x3
      \end{bmatrix}$
      右端项$\mathbf g = \begin{bmatrix}
      f1 \\ f2
      \end{bmatrix}$ $\mathbf h = \begin{bmatrix}
      f3
      \end{bmatrix}$

矩阵的微分与积分

每个矩阵对应元素做积分或微分即可

参考文献：
1.MD数学公式参考https://www.cnblogs.com/blknemo/p/16745637.html